Сложность бильярдного удара: русская пирамида и пул

1. Сложность как требование к точности

Представим прямой удар в среднюю лузу и тонкую резку через весь стол. В обоих случаях задача — забить шар, но допустимое отклонение начального направления битка различается. Именно это отклонение можно определить из геометрии.

Сначала находим диапазон направлений прицельного шара, совместимых с входом в лузу. Затем через геометрию первого столкновения переводим его в допустимые направления битка. Ширина полученного интервала w, в радианах, — основной результат модели. Он учитывает конечный размер шара, вход в лузу, дистанции и резку.

Для отображения используется обратная шкала D = 0,10/w. Коэффициент задаёт масштаб чисел и не меняет порядок ударов. До округления удвоение D означает уменьшение углового допуска вдвое. Это геометрическая сложность, а не вероятность попадания конкретного игрока.

2. От видеозаписи к физическим координатам

Компьютерное зрение поставляет исходные наблюдения: границы игрового поля, траектории шаров, положение битка и кандидата на прицельный шар. Подробнее об этом — в статье о распознавании шаров и восстановлении траекторий.

1. Калибровка стола. Перспектива преобразуется в прямоугольную систему координат игрового поля.
2. Начальная позиция. Используются первые доступные координаты соответствующих траекторий. Качество этой позиции влияет на точность оценки.
3. Шар и луза. Наблюдаемые направления движения дают кандидатов на попытку забивания. Геометрия должна допускать соответствующий удар; сама оценка сложности не доказывает намерение игрока.
4. Размеры. Тип бильярда задаёт радиус шара и ширину входа в лузу. Размер стола переводит нормализованные координаты в метры.
5. Расчёт. Модель определяет угловой допуск, тип попытки и сложность. Оценка в записи удара округляется до двух знаков.

X = xₚ · ℓ / 1280
Y = yₚ · b / 640

Здесь ℓ и b — длина и ширина игрового поля в метрах. Размеры шара и лузы берутся отдельно: увеличение стола не увеличивает их автоматически.

3. Как получается допустимый интервал

3.1. Обозначения и вход в лузу

C и O — центры битка и прицельного шара; P — середина входного отрезка лузы; R — радиус шара; 2a — ширина входа. Единичная нормаль n направлена из игрового поля через вход в лузу, t = (−nᵧ, nₓ) направлен вдоль входа. L — расстояние между центрами шаров. Все длины ниже выражены в метрах.

L = |O − C|;  e = (O − C)/L
x = (P − O) · t;  h = (P − O) · n
d² = x² + h²;  x = d sinφ;  h = d cosφ

Вход моделируется конечным отрезком с двумя ограничивающими точками. Центр шара должен пересечь линию входа, сохранив необходимый зазор, и до этого не приблизиться к ограничивающим точкам менее чем на R. Для угловой лузы входной отрезок расположен по диагонали между двумя бортами; для средней — вдоль борта.

3.2. Угловые границы прицельного шара

Для x ≥ 0, h > 0 и a > R верхняя граница задаётся пересечением линии входа с допустимым зазором. Нижняя определяется либо тем же условием, либо касанием к ближней ограничивающей точке:

φ₊ = atan2(x + a − R, h)

Если x ≤ a − R:
φ₋ = atan2(x − a + R, h)

Если x > a − R:
φ₋ = atan2(x − a, h)
     + atan2(R, √((x − a)² + h² − R²))

W = φ₊ − φ₋

Для отрицательного x отражаем границы: [φ₋, φ₊] ↦ [−φ₊, −φ₋], предварительно рассчитав их для |x|. Если интервал неположителен или начальная позиция пересекает ограничение, допустимого прямого входа нет. Двухаргументный atan2 сохраняет правильную угловую ветвь.

Для прямого направления на середину входа x = 0:

W = 2 atan2(a − R, d)

Это допуск направления прицельного шара. Для оценки всего удара его ещё нужно перенести через столкновение в начальные направления битка.

3.3. Первое столкновение

Для единичного направления прицельного шара u центр битка в момент контакта должен находиться в G = O − 2Ru. Требование приближающегося первого контакта строже простого ограничения резки в 90°:

G = O − 2Ru
(G − C) · u > 0  ⇔  (O − C) · u > 2R

γₖ = acos(2R/L),  L > 2R
δ = atan2(eₓnᵧ − eᵧnₓ, e · n)
[γ₋, γ₊] = ([δ + φ₋, δ + φ₊] + 2πk) ∩ [−γₖ, γₖ]

γ отсчитывается от направления C → O. Выбирается эквивалентная угловая ветвь k ∈ {−1, 0, 1}, дающая интервал положительной ширины. Если пересечения нет, прямой удар в данной постановке геометрически невозможен.

3.4. Начальное направление битка

В системе координат вдоль C → O вектор G − C имеет компоненты (L − 2R cosγ, −2R sinγ). Поэтому:

β(γ) = atan2(−2R sinγ, L − 2R cosγ)

dβ/dγ = 2R(2R − L cosγ)/(L² + 4R² − 4RL cosγ) < 0

w = β(γ₋) − β(γ₊)
  = atan2(−2R sinγ₋, L − 2R cosγ₋)
  − atan2(−2R sinγ₊, L − 2R cosγ₊)

На допустимом интервале отображение монотонно убывает, поэтому достаточно вычислить его на границах. Полученный w — полный диапазон начальных направлений битка. Он не обязан быть симметричным относительно направления на центр лузы.

Локальный коэффициент усиления угловой ошибки помогает объяснить влияние дистанции и резки:

A(γ) = |dγ/dβ|
     = (L² + 4R² − 4RL cosγ)/[2R(L cosγ − 2R)]

w ≈ (γ₊ − γ₋)/A  — для узкого интервала с почти постоянным A

Сам расчёт использует точные значения на концах интервала, без этой локальной аппроксимации. Все углы в уравнениях заданы в радианах.

4. Пирамида и пул: что именно отличается

Боковой зазор равен m = a − R. Для пирамиды он существенно меньше. Больший радиус уменьшает этот зазор, но одновременно меняет перенос ошибки при столкновении: влияние размера шара нельзя свести к одному множителю. При одинаковой угловой резке больший шар способен расширять допуск первого контакта, в то время как тесный вход в лузу его ограничивает.

При одинаковых физических расстояниях сравнивается прежде всего оборудование. При одинаковых относительных координатах добавляется увеличение расстояний на большем столе. Поэтому единого утверждения «пирамида в N раз сложнее пула» модель не даёт. Размеры здесь — параметры упрощённой геометрии; конкретный стол может требовать измерения входа в лузу.

5. Шесть схем: три сравнения

Во всех примерах выбран прямой удар прицельным шаром в среднюю лузу. C — биток, O — прицельный шар. Синий отрезок ведёт к контакту; оранжевый показывает движение прицельного шара для середины допустимого контактного интервала.

ПРИМЕР 1

Пул: прямой удар на одинаковой дистанции

ПРИМЕР 2

Русская пирамида: прямой удар на одинаковой дистанции

ПРИМЕР 3

Пул: одинаковая относительная позиция

ПРИМЕР 4

Русская пирамида: одинаковая относительная позиция

ПРИМЕР 5

Пул: резка при одинаковой дистанции

ПРИМЕР 6

Русская пирамида: резка при одинаковой дистанции

Вторая пара показывает совместное влияние оборудования и более длинных дистанций: L увеличивается с 0,508 до 0,710 м, d — с 0,3048 до 0,426 м. Отношение оценок здесь около 9,92. Это результат конкретной пары позиций, а не коэффициент для всей русской пирамиды.

6. Свояк: в лузу направляется биток

В русской пирамиде нужно различать попытку забить прицельный шар и свояк — забивание битка после контакта с другим шаром. Простая перестановка исходных координат шаров неверна: биток начинает движение к лузе из точки контакта, а не из своей начальной позиции.

В используемой упрощённой постановке шары одинаковы по массе и радиусу, столкновение упругое, вращение не учитывается. В системе вдоль C → O для выбранного контактного направления u = (cosγ, sinγ) вычисляется центр битка при контакте G, затем его выходное касательное направление v:

G = O − 2Ru
v = sign(γ) · (sinγ, −cosγ),  γ ≠ 0

s = ((P − G) · n)/(v · n)
H = G + sv

s > 0;  v · n > 0
|(H − P) · t| ≤ a − R
distance(E₋, segment(G,H)) ≥ R
distance(E₊, segment(G,H)) ≥ R
E₋ = P − at;  E₊ = P + at

Последние условия требуют, чтобы биток двигался к входу, пересёк его с необходимым зазором и до пересечения не задел ограничивающие точки. Также сохраняется условие приближающегося первого контакта |γ| < acos(2R/L). Центральный контакт γ = 0 исключается: в этой постановке биток останавливается.

Границы допустимых контактных интервалов находятся аналитически по условиям касания и пересечения входа. Каждый интервал переводится в начальные направления битка через ту же функцию β(γ). Если интервалов несколько, расчёт выбирает самый широкий непрерывный интервал, а не складывает раздельные диапазоны.

Для пирамиды оцениваются допустимые варианты «чужой в лузу» и «свой в лузу» для кандидатов, полученных из наблюдений. Выбирается меньшая геометрическая сложность. При выборе свояка сохраняются соответствующий тип попытки, забиваемый шар и выбранная луза. В пуле забивание битка не рассматривается как успешный вариант забивания.

Такая процедура даёт геометрически наиболее доступный из рассмотренных вариантов. Она не является самостоятельным доказательством намерения игрока. Свояки в реальной игре зависят также от вращения и условий контакта, которые эта метрика не описывает.

7. Где это используется в PerformStars

Оценка сохраняется с ударом вместе с геометрическими признаками и выбранным вариантом забивания. Она позволяет сортировать удары, находить требовательные позиции для просмотра и сопоставлять наборы ударов по геометрической нагрузке. Интерпретация серии должна учитывать состав позиций: средняя сложность попыток и результативность отвечают на разные вопросы.

В анализе записи сложность помогает выделить эпизоды для тренера и игрока. В статистике она служит геометрическим признаком удара; сама по себе она не определяет мастерство, вероятность попадания или качество позиционного выхода.

8. Границы модели

Это модель прямого забивания и отдельно описанного свояка. Она не включает отражения от бортов, серии столкновений, перекрытия траекторий другими шарами, силу удара, вращение, трение, деформацию бортов и профиль входа в лузу. При проверке реальной позиции эти факторы могут исключить вариант, допустимый для рассматриваемой пары шаров.

Очень узкий допустимый интервал чувствителен к ошибке координат и измерения оборудования. Если модель не находит допустимый интервал, результат считается геометрически недопустимым, а не обычной числовой оценкой сложности. Равные оценки между дисциплинами означают одинаковый угловой допуск в рамках этих предположений.

9. Исходные данные и воспроизведение

Автор канонической публикации — Dmitrii Sadovnik. PDF с полным выводом геометрии прямого забивания содержит формулы и расчётные примеры. Дополнительная постановка свояка приведена выше и реализована в функции cuePotDifficulty.

• Каноническая статья · PDF
• Расчёт прямого удара и свояка · JavaScript
• Размеры оборудования · JavaScript
• Координаты и результаты шести примеров · JSON

Сохраните оба модуля рядом и загрузите JSON с примерами. Для каждого примера переведите координаты в нормализованную сетку и вызовите difficultyFromTablePoints:

import {difficultyFromTablePoints} from './model.mjs';

const px = p => ({
  x: p[0] * 1280 / example.table.l,
  y: p[1] * 640 / example.table.w
});
const result = difficultyFromTablePoints(
  px(example.cue), px(example.object),
  example.pocketId, example.size, example.game
);
console.log(result.cueAngularTolerance, result.compl);

Для расчёта свояка используется последний аргумент 'cue' при типе игры 'pyramid'. Вычисления выполняются без внешних пакетов и подключения к базе. В JSON сохранены значения полной точности; в статье оценки округлены для чтения.